Este manual está pensado para el primer curso de álgebra lineal, no es lo suficiente riguroso, pero su enfoque pedagógico lo hace perfecto para introducir este tema. Este libro clásico logra un equilibrio entre las técnicas y las demostraciones matemáticas. La teoría se presenta en pocos pasos y proporciona más ejemplos y ejercicios que implican cálculos que textos abstractos.
Para demostrar cómo el álgebra lineal se puede aplicar en diferentes campos de la ciencia, el autor presenta una serie de aplicaciones, y muchos ejemplos y ejercicios hacen referencia a diferentes disciplinas.
Para muchos estudiantes el curso de álgebra lineal constituye el primer curso real de matemáticas. Aquí se solicita a los estudiantes no sólo que lleven a cabo cálculos matemáticos sino también que desarrollen demostraciones. Intenté, en este libro, alcanzar un equilibrio entre la técnica y la teoría.
Todas las técnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que ilustran su utilización. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que se pueden probar utilizando resultados dados aquí. Las demostraciones más difíciles se dan al final de las secciones o en apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro que proporcionará a los estudiantes tanto las habilidades algebraicas para resolver problemas que surjan en sus áreas de estudio como una mayor apreciación de la belleza de las matemáticas.
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MANEJO DE CALCULADORA
En la actualidad existe una gran variedad de calculadoras graficadoras disponibles, con las que es posible realizar operaciones con matrices y vectores. Desde la edición anterior, el texto incluye secciones de “manejo de calculadora” que tienen por objeto ayudar a los estudiantes a usar sus calculadoras en este curso. Para esta edición se han actualizado estas secciones con uno de los modelos de vanguardia. Cada sección comienza con una descripción detallada del uso de la Hewlett-Packard HP 50g para la resolución de problemas. Por lo general a estas descripciones les sigue una serie de problemas adicionales con números más complicados que se pueden resolver fácilmente con calculadora.
Sin embargo, debe hacerse hincapié en que no se requiere que los alumnos cuenten con una calculadora graficadora para que el uso de este libro sea efectivo. Las secciones de manejo de calculadora son una característica opcional que debe usarse a discreción del profesor.
MATLAB
El texto cuenta con más de 230 problemas opcionales para MATLAB , muchos de los cuales tienen varios incisos, que aparecen después de la mayoría de las secciones de problemas (MATLAB) es una marca registrada de The Math Works, Inc.). MATLAB es un paquete poderoso pero amigable, diseñado para manejar problemas de una amplia variedad que requieren cálculos con matrices y conceptos de álgebra lineal. Se puede ver mayor información sobre este programa en la sección de apéndices. Los problemas relacionados directamente con los ejemplos y los problemas normales, exhortan al estudiante a explotar el poder de cálculo de MATLAB y explorar los principios del álgebra lineal mediante el análisis y la obtención de conclusiones. Además, se cuenta con varios incisos de “papel y lápiz” que permiten que el alumno ejercite su juicio y demuestre su aprendizaje de los conceptos. La sección 1.3 es la primera que contiene problemas de MATLAB; antes de estos problemas se presenta una introducción y una tutoría breve. Los problemas de MATLAB en cada sección están diseñados para que el usuario conozca los comandos de MATLAB a medida que se van requiriendo para la resolución de problemas. Se cuenta con numerosas aplicaciones y problemas proyecto que demuestran la relevancia del álgebra lineal en el mundo real; éstos pueden servir como trabajos de grupo o proyectos cortos.
Muchos de los problemas de MATLAB están diseñados para animar a los estudiantes a describir teoremas de álgebra lineal. Por ejemplo, un estudiante que genere varias matrices triangulares superiores y calcule sus inversas obtendrá la conclusión natural de que la inversa de una matriz triangular superior es otra triangular superior. La demostración de este resultado no es trivial, pero tendrá sentido si el estudiante “ve” que el resultado es aceptable.
Prácticamente todos los conjuntos de problemas de MATLAB contienen algunos que llevan a resultados matemáticos.
Lo mismo que en el caso del manejo de calculadora, se resalta aquí el hecho de que el material de MATLAB es opcional. Se puede asignar o no según el profesor lo considere conveniente.
En lugar de colocar la sección de MATLAB a manera de suplemento, se decidió conservarlo dentro de los capítulos para que la integración fuera mayor y más efectiva.
Además, se ha cuidado que primero se enseñe a los estudiantes la manera de resolver los problemas “a mano”, comprendiendo los conceptos, para después poder incorporar el uso de otras herramientas.
Álgebra lineal conserva el diseño de un libro para cubrirse en un semestre. Es de esperarse que, al utilizarlo, el material de MATLAB se cubra en un laboratorio separado que complemente el trabajo del salón de clase.
CONTENIDO
PREFACIO XIII
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
1.1 Introducción
1.2 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
1.3 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan y gaussiana
Semblanza de. . . Carl Friedrich Gauss
Introducción a MATLAB
1.4 Sistemas homogéneos de ecuaciones
1.5 Vectores y matrices
Semblanza de. . . Sir William Rowan Hamilton
1.6 Productos vectorial y matricial
Semblanza de. . . Arthur Cayley y el álgebra de matrices
1.7 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
1.8 Inversa de una matriz cuadrada
1.9 Transpuesta de una matriz
1.10 Matrices elementales y matrices inversas
1.11 Factorizaciones LU de una matriz
1.12 Teoría de gráficas: una aplicación de matrices
Resumen
Ejercicios de repaso
2 DETERMINANTES
2.1 Definiciones
2.2 Propiedades de los determinantes
2.3 Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia
Semblanza de. . . Breve historia de los determinantes
2.4 Determinantes e inversas
2.5 Regla de Cramer (opcional)
Resumen
Ejercicios de repaso
3 VECTORES EN R2 Y R3
3.1 Vectores en el plano
3.2 El producto escalar y las proyecciones en R2
3.3 Vectores en el espacio R2
3.4 El producto cruz de dos vectores
Semblanza de. . . Josiah Willard Gibbs y los orígenes del análisis vectorial
3.5 Rectas y planos en el espacio
Resumen
Ejercicios de repaso
4 ESPACIOS VECTORIALES
4.1 Introducción
4.2 Definición y propiedades básicas
4.3 Subespacios
4.4 Combinación lineal y espacio generado
4.5 Independencia lineal
4.6 Bases y dimensión
4.7 Rango, nulidad, espacio de los renglones y espacio de las columnas de una matriz
4.8 Cambio de base
4.9 Bases ortonormales y proyecciones en n
4.10 Aproximación por mínimos cuadrados
4.11 Espacios con producto interno y proyecciones
4.12 Fundamentos de la teoría de espacios vectoriales: existencia de una base (opcional)
Resumen
Ejercicios de repaso
5 TRANSFORMACIONES LINEALES
5.1 Definición y ejemplos
5.2 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo
5.3 Representación matricial de una transformación lineal
5.4 Isomorfismos
5.5 Isometrías
Resumen
Ejercicios de repaso
6 VALORES CARACTERÍSTICOS, VECTORES CARACTERÍSTICOS Y FORMAS CANÓNICAS
6.1 Valores característicos y vectores característicos
6.2 Un modelo de crecimiento de población (opcional)
6.3 Matrices semejantes y diagonalización
6.4 Matrices simétricas y diagonalización ortogonal
6.5 Formas cuadráticas y secciones cónicas
6.6 Forma canónica de Jordan
6.7 Una aplicación importante: forma matricial de ecuaciones diferenciales
6.8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton y Gershgorin
Resumen
Ejercicios de repaso
Apéndice 1 Inducción matemática
Apéndice 2 Números complejos
Apéndice 3 El error numérico en los cálculos y la complejidad computacional
Apéndice 4 Eliminación gaussiana con pivoteo
Apéndice 5 Uso de MATLAB
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